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Die Konjugationsoperation ist eine Gruppenoperation, die eine Gruppe in Konjugationsklassen zerlegt. Die Elemente einer Konjugationsklasse haben viele Gemeinsamkeiten, sodass eine nähere Betrachtung dieser Klassen wichtige Einblicke in die Struktur nicht-abelscher Gruppen ermöglicht. Bei abelschen Gruppen sind Konjugationsklassen nebensächlich, da jedes Gruppenelement eine eigene Konjugationsklasse bildet.

• Konjugationsoperation

• Konjugation

• Einzelnachweise

Die Konjugationsoperation ist eine Operation einer Gruppe auf sich selbst, die entweder als Linksoperation

( g , h ) ↦ ↦ g h g − − 1 {\displaystyle (g,h)\mapsto ghg^{-1}}

oder als Rechtsoperation

( g , h ) ↦ ↦ h − − 1 g h {\displaystyle (g,h)\mapsto h^{-1}gh}

definiert ist.

Für die Rechtsoperation ( g , h ) ↦ ↦ h − − 1 g h {\displaystyle (g,h)\mapsto h^{-1}gh} ist die exponentielle Schreibweise h − − 1 g h = g h {\displaystyle h^{-1}gh=g^{h}} üblich. In dieser Notation erfüllt die Konjugationsoperation die Beziehung ( x g ) h = x g h {\displaystyle (x^{g})^{h}=x^{gh}} . Im Folgenden wird die Konjugationsoperation als Linksoperation definiert.

Zwei Elemente h 1 {\displaystyle h_{1}} und h 2 {\displaystyle h_{2}} einer Gruppe G heißen zueinander konjugiert, wenn es ein Element g ∈ ∈ G {\displaystyle g\in G} gibt, sodass h 1 = g h 2 g − − 1 {\displaystyle h_{1}=gh_{2}g^{-1}} ist. Die Konjugiertheit ist eine Äquivalenzrelation. Sie besitzt also folgende Eigenschaften:

• Jedes Element h {\displaystyle h} ist konjugiert zu sich selbst (Reflexivität).

• Ist h 1 {\displaystyle h_{1}} konjugiert zu h 2 {\displaystyle h_{2}} , so ist auch h 2 {\displaystyle h_{2}} konjugiert zu h 1 {\displaystyle h_{1}} (Symmetrie).

• Ist h 1 {\displaystyle h_{1}} konjugiert zu h 2 {\displaystyle h_{2}} und h 2 {\displaystyle h_{2}} konjugiert zu h 3 {\displaystyle h_{3}} , dann ist auch h 1 {\displaystyle h_{1}} konjugiert zu h 3 {\displaystyle h_{3}} (Transitivität).

Alle Elemente, die zueinander konjugiert sind, bilden jeweils eine Äquivalenzklasse, die sogenannte Konjugationsklasse von h {\displaystyle h} :

G ⋅ ⋅ h = { g h g − − 1 ∣ ∣ g ∈ ∈ G } {\displaystyle G\cdot h=\left\{ghg^{-1}\mid g\in G\right\}}

Dabei kann als h {\displaystyle h} ein beliebiges Element der Konjugationsklasse gewählt werden. Die Konjugationsklassen sind die Bahnen der Konjugationsoperation.

Der Stabilisator

Z G ( x ) = { g ∈ ∈ G ∣ ∣ x = g x g − − 1 } {\displaystyle Z_{G}(x)=\left\{g\in G\mid x=gxg^{-1}\right\}}

eines Elementes x {\displaystyle x} ist der Zentralisator von x {\displaystyle x} .

Zwei Untergruppen U {\displaystyle U} und V {\displaystyle V} einer Gruppe G {\displaystyle G} heißen konjugiert zueinander, wenn es ein g ∈ ∈ G {\displaystyle g\in G} gibt mit V = g U g − − 1 {\displaystyle V=gUg^{-1}} .

Eine Untergruppe N {\displaystyle N} einer Gruppe G {\displaystyle G} ist invariant unter Konjugation, wenn für alle Elemente h {\displaystyle h} aus N {\displaystyle N} und alle Elemente g {\displaystyle g} aus G {\displaystyle G} das Produkt g h g − − 1 {\displaystyle ghg^{-1}} wieder in N {\displaystyle N} liegt:

g N g − − 1 = N {\displaystyle gNg^{-1}=N}

Eine unter Konjugation invariante Untergruppe einer Gruppe wird als Normalteiler der Gruppe bezeichnet. Normalteiler erlauben die Bildung von Faktorgruppen der Gruppe.

Zwei Gruppenwirkungen G 1 × × X → → X {\displaystyle G_{1}\times X\to X} und G 2 × × X → → X {\displaystyle G_{2}\times X\to X} heißen konjugiert zueinander, wenn G 1 {\displaystyle G_{1}} und G 2 {\displaystyle G_{2}} als Untergruppen der Automorphismengruppe A u t ( X ) {\displaystyle Aut(X)} konjugiert zueinander sind.

innerer-automorphismus Die Konjugation mit g {\displaystyle g} ist die Abbildung

int g : : G → → G , h ↦ ↦ g h g − − 1 {\displaystyle \operatorname {int} _{g}\colon G\rightarrow G,\quad h\mapsto ghg^{-1}} .

Sie entsteht aus der Konjugationsoperation, indem g {\displaystyle g} festgehalten wird. Die Konjugation ist ein Automorphismus von G {\displaystyle G} . Automorphismen von G {\displaystyle G} , die als Konjugation mit einem Element von G {\displaystyle G} geschrieben werden können, werden als innere Automorphismen bezeichnet. Daher kommt auch die Bezeichnung int g {\displaystyle \operatorname {int} _{g}} , bei der das „int“ für „interior“ steht.cite-ref-1[1] Die inneren Automorphismen Inn ⁡ ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Inn} (G)} bilden einen Normalteiler der Automorphismengruppe von G {\displaystyle G} . Als Kern des Gruppenhomomorphismus

T : : G → → Inn ⁡ ⁡ ( G ) , g ↦ ↦ int g {\displaystyle T\colon \ G\rightarrow \operatorname {Inn} (G),\quad g\mapsto \operatorname {int} _{g}}

erhält man das Zentrum Z ( G ) {\displaystyle Z(G)} von G {\displaystyle G} . Nach dem Homomorphiesatz vermittelt die Abbildung T {\displaystyle T} also einen Isomorphismus von G / Z ( G ) {\displaystyle G/Z(G)} nach Inn ⁡ ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {Inn} (G)} .

cite-note-11. ↑ Siegfried Bosch: Algebra. Springer, 2004, ISBN 3-540-40388-4, S. 239